Comments on: 长度是怎样炼成的 （三）长度的意义 http://blog.farmostwood.net/23.html 把不能诉诸语言的东西珍藏起来即可。 Thu, 11 Mar 2010 01:09:58 +0800 http://wordpress.org/?v=2.9.2 hourly 1 By: francisco http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3501 francisco Tue, 09 Feb 2010 15:01:48 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3501 请恕我直言，“极限”一词就好像是块遮羞布，但凡数学家们面临无法给出一副清晰图景解释的尴尬处境时，就会适时地抛出“极限”一词，迫使那些喜欢刨根问底的好事者们闭嘴，如果你还不识趣，继续追求清晰图景解释的话，则你会被宣布“概念不清”，“问题的提法有误”，于是，数学的权威性、合法性就这样很体面地被保护下来了，而对于那些追求清晰图景解释的好事者而言，他们所追求的完美解释就像海市蜃楼一样依然遥不可及。 请恕我直言，“极限”一词就好像是块遮羞布，但凡数学家们面临无法给出一副清晰图景解释的尴尬处境时，就会适时地抛出“极限”一词，迫使那些喜欢刨根问底的好事者们闭嘴，如果你还不识趣，继续追求清晰图景解释的话，则你会被宣布“概念不清”，“问题的提法有误”，于是，数学的权威性、合法性就这样很体面地被保护下来了，而对于那些追求清晰图景解释的好事者而言，他们所追求的完美解释就像海市蜃楼一样依然遥不可及。

]]> By: 木遥 http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3497 木遥 Tue, 09 Feb 2010 08:19:07 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3497 @francisco 长边极限是无穷大，宽边极限是零。 是极限，不是“最终”。 @francisco
长边极限是无穷大，宽边极限是零。
是极限，不是“最终”。

]]> By: francisco http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3496 francisco Tue, 09 Feb 2010 04:34:18 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3496 我承认我这个问题的提法不是很妥当，现换一种提法：有一个面积为1的矩形，其长为a，宽为1/a,现保持其面积1不变，使长a无限增大，宽1/a无限缩小，那么长边最终的长度（也就是勒贝格测度）是多少呢？宽边最终的长度又是多少呢？ 我承认我这个问题的提法不是很妥当，现换一种提法：有一个面积为1的矩形，其长为a，宽为1/a,现保持其面积1不变，使长a无限增大，宽1/a无限缩小，那么长边最终的长度（也就是勒贝格测度）是多少呢？宽边最终的长度又是多少呢？

]]> By: 木遥 http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3494 木遥 Mon, 08 Feb 2010 15:31:07 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3494 @francisco 所以呢……那不还是要推出1=0么…… 其实这根本就不是个问题。δ(x)在零点处不取实数值，所以δ(x)在零点附近的积分不能像通常函数一样对待，即认为其支集是零测集所以积分为零。 关键在于广义函数不是函数，更不是可测函数，不能照搬可测函数的性质。一定要把普通的可测函数的属性套在广义函数上，当然会出现矛盾了。 @francisco
所以呢……那不还是要推出1=0么……

其实这根本就不是个问题。δ(x)在零点处不取实数值，所以δ(x)在零点附近的积分不能像通常函数一样对待，即认为其支集是零测集所以积分为零。

关键在于广义函数不是函数，更不是可测函数，不能照搬可测函数的性质。一定要把普通的可测函数的属性套在广义函数上，当然会出现矛盾了。

]]> By: francisco http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3493 francisco Mon, 08 Feb 2010 14:58:15 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3493 “δ(x) 的支集就是原点这个孤立点”并非我给出的结论，而是王声望、郑维行的《实变函数论与泛函分析概要》第三版第323页给出的。我承认我前面给出的广义函数的支集的定义有问题，严格的定义叙述起来比较繁琐，我前面给出的只是一种简便、直观的解释，并不严格。广义函数当然不能逐点地去讨论函数值。但是“δ(x)支集的勒贝格测度”这句话本身应该是没有问题的。 “δ(x) 的支集就是原点这个孤立点”并非我给出的结论，而是王声望、郑维行的《实变函数论与泛函分析概要》第三版第323页给出的。我承认我前面给出的广义函数的支集的定义有问题，严格的定义叙述起来比较繁琐，我前面给出的只是一种简便、直观的解释，并不严格。广义函数当然不能逐点地去讨论函数值。但是“δ(x)支集的勒贝格测度”这句话本身应该是没有问题的。

]]> By: francisco http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3491 francisco Mon, 08 Feb 2010 12:40:44 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3491 广义函数的支集本质上就是一个集合，既然是一个集合，那么它就可以有勒贝格测度（当然还必须是可测集）。所以您说“「δ(x) 的支集的勒贝格测度」这句话本身是非良定义的”，我也不敢苟同。 广义函数的支集本质上就是一个集合，既然是一个集合，那么它就可以有勒贝格测度（当然还必须是可测集）。所以您说“「δ(x) 的支集的勒贝格测度」这句话本身是非良定义的”，我也不敢苟同。

]]> By: francisco http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3489 francisco Mon, 08 Feb 2010 09:47:16 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3489 关于“广义函数的支集”这个概念，很多《泛函分析》教科书中都有明确的定义，比如王声望、郑维行的《实变函数论与泛函分析概要》第三版第323页就有很明确的定义，而且该书第323页明确指出，δ(x-a)的支集就是单点集(x/x=a)。所以您说“广义函数不是函数，也没有通常意义上的支集”，我不敢苟同。 关于“广义函数的支集”这个概念，很多《泛函分析》教科书中都有明确的定义，比如王声望、郑维行的《实变函数论与泛函分析概要》第三版第323页就有很明确的定义，而且该书第323页明确指出，δ(x-a)的支集就是单点集(x/x=a)。所以您说“广义函数不是函数，也没有通常意义上的支集”，我不敢苟同。

]]> By: 木遥 http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3488 木遥 Mon, 08 Feb 2010 07:40:52 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3488 @francisco 广义函数不是函数，也没有通常意义上的支集。「泛函值」这个词是没有意义的，如果每个 x 都对应一个「泛函值」，那这就是一个普通函数，不成其为广义函数了。譬如当 x=0 时，其「泛函值」为何？说它等于 +∞ 是没有意义的，因为 +∞ 并不是一个数。 广义函数的本质不在于拓展数域（例如允许取+∞为函数值），而是在于它是一个函数空间上的算子，研究广义函数在每个点具体的取值，既无意义，也做不到。因此「δ(x) 的支集的勒贝格测度」这句话本身是非良定义的。 @francisco
广义函数不是函数，也没有通常意义上的支集。「泛函值」这个词是没有意义的，如果每个 x 都对应一个「泛函值」，那这就是一个普通函数，不成其为广义函数了。譬如当 x=0 时，其「泛函值」为何？说它等于 +∞ 是没有意义的，因为 +∞ 并不是一个数。

广义函数的本质不在于拓展数域（例如允许取+∞为函数值），而是在于它是一个函数空间上的算子，研究广义函数在每个点具体的取值，既无意义，也做不到。因此「δ(x) 的支集的勒贝格测度」这句话本身是非良定义的。

]]> By: francisco http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3482 francisco Mon, 08 Feb 2010 04:32:57 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3482 您好！看了您这篇文章，感觉受益匪浅！现有一个关于狄拉克函数（也就是冲激函数）的问题想请教一下。 冲激函数δ(x)的支集的勒贝格测度是多少呢？对于“支集”这个概念，这里想简单说明一下：对于一个常义函数f(x)，集合{x/f(x)≠0}称为函数f(x)的支集，简单地说，支集就是使函数值不为0的所有定义域的总和。而对于广义函数g(x)，其支集定义为{x/≠0}，简单地说，就是使泛函值不为0的x的集合。那么按照这个定义，冲激函数δ(x)的支集为{x/x=0}这一个点，一个孤立点的勒贝格测度当然为0了，所以冲激函数δ(x)支集的勒贝格测度应该是0.但是一个孤立点的勒贝格积分只能是0，即有：(L)∫δ(x)dx=0（积分限为-∞到+∞），这与冲激函数δ(x)的基本性质(L)∫δ(x)dx=1（积分限为-∞到+∞）相矛盾。这个矛盾该如何解释呢？ 您好！看了您这篇文章，感觉受益匪浅！现有一个关于狄拉克函数（也就是冲激函数）的问题想请教一下。

冲激函数δ(x)的支集的勒贝格测度是多少呢？对于“支集”这个概念，这里想简单说明一下：对于一个常义函数f(x)，集合{x/f(x)≠0}称为函数f(x)的支集，简单地说，支集就是使函数值不为0的所有定义域的总和。而对于广义函数g(x)，其支集定义为{x/≠0}，简单地说，就是使泛函值不为0的x的集合。那么按照这个定义，冲激函数δ(x)的支集为{x/x=0}这一个点，一个孤立点的勒贝格测度当然为0了，所以冲激函数δ(x)支集的勒贝格测度应该是0.但是一个孤立点的勒贝格积分只能是0，即有：(L)∫δ(x)dx=0（积分限为-∞到+∞），这与冲激函数δ(x)的基本性质(L)∫δ(x)dx=1（积分限为-∞到+∞）相矛盾。这个矛盾该如何解释呢？

]]> By: 宇蠢 http://blog.farmostwood.net/23.html/comment-page-1#comment-3187 宇蠢 Tue, 15 Dec 2009 03:06:41 +0000 http://blog.farmostwood.net/2006/05/20/%e9%95%bf%e5%ba%a6%e6%98%af%e6%80%8e%e6%a0%b7%e7%82%bc%e6%88%90%e7%9a%84%ef%bc%9f-%ef%bc%88%e4%b8%89%ef%bc%89%e9%95%bf%e5%ba%a6%e7%9a%84%e6%84%8f%e4%b9%89/#comment-3187 如果这一过程有极限，这个极限就被我们称为这个无穷数的和。 一个小错误 如果这一过程有极限，这个极限就被我们称为这无穷个数的和。 学习的过程中这些模糊不清的问题也一直在我脑中打转，现在比较清楚了。就是这里有一个连续统，我们在上面定义一个 Lebesgue 测度，这个测度符合我们的直觉感受。 这个连续统是怎么来的呢？具体说来实数系是怎么来的？这是由有理数极限推导出来的。 可以这样说吧？这样看来测度之类都是自然而然的概念了。本身存在（于我们的思维中），我们给他一个名字而已。 如果这一过程有极限，这个极限就被我们称为这个无穷数的和。
一个小错误
如果这一过程有极限，这个极限就被我们称为这无穷个数的和。

学习的过程中这些模糊不清的问题也一直在我脑中打转，现在比较清楚了。就是这里有一个连续统，我们在上面定义一个 Lebesgue 测度，这个测度符合我们的直觉感受。

这个连续统是怎么来的呢？具体说来实数系是怎么来的？这是由有理数极限推导出来的。

可以这样说吧？这样看来测度之类都是自然而然的概念了。本身存在（于我们的思维中），我们给他一个名字而已。

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