两生

我的朋友 YY 很喜欢构造和研究有趣的数学小问题。前几天她告诉我这样一个问题:

假设一个人从出生开始,每年的心情状态都会随机以同样概率变好或者变坏一定的程度。如果允许这个人依照某种策略在特定的时刻设置一个还原点,并且在其后的某一刻可以决定回到这个还原点重新开始生活,但是这样的能力只能使用一次。假定这个人的寿命是给定的,那么为了他临终时的状态的期望值最大,应该以怎样的策略设置和使用还原点呢?

(用 YY 的话说:你平时在 blog 上呼唤的不就是这个东西么。)

我花了很久才搞定这个问题。自从我学完高等概率论之后,所有这些知识都被我束之高阁,要用的时候才发现自己已经差不多忘光了。──最优的策略事实上很简单:在出生时就存档,到临死时看看自己的状态,如果比出生时好就安然死去,否则就回到原点整个重来一次。

要论证这个结论,只需要注意到下面的两个事实:

第一、从任何一个给定的时刻开始,在假设若干时间之后状态比此刻好的前提下,彼时的状态的期望值是关于这个间隔时间的增函数。也就是说,如果假定状态会变好,那么它平均来看会越来越好。当然,在状态会变差的条件下的状态期望也会越来越差。

(验证这一点只需要计算出具体的条件期望就可以了,很容易看到它确实是时间的增函数。这在直观上也是合乎情理的,虽然似乎并不显然。)

第二、无论采用什么策略来设置还原点,设置还原点时的状态的期望都仍旧等于初始值,而决定回头读档时的状态期望值亦然。这是经典的 optional stopping theorem 的结论。

(关于这个定理,YY 的说法是「它基本就是在说跟命运抗争是没用的」。但是我更愿意把它理解为:指望自己在达到某个目标后就能变得更快乐是不可能的。任何目标都只意味着一个新的起点,在那个起点上,自己仍然是从零开始的。)

合并这两个事实,就能看到为了使得最终的状态期望值最大,需要让设置还原点的时刻和回头的时刻相距最远才行。也就是说,应当在零岁时存档,而临死前决定是否读档。──有趣的是,虽然题目假设读档的机会只有一次,但是即使允许反复读档,这结论实际上也不会有变化,而且每次读档的边际效用只会越来越小。

真的应该回到原点重新开始么?此刻的我,最希望的当然是回到五年前重新开始我的留学生活。但是我也记得,在五年前,我想到的却是能回到本科时代重新念一遍大学。这样看来,也可能彻底归零确实是最好的办法。

等到我真正临终的时候,会不会还是这样想呢?

19 Responses to “两生”

  1. dqu
    November 1st, 2010 02:14
    1

    哈,我想起《一一》里NJ说,重活一遍没必要。

  2. 木遥
    November 1st, 2010 02:18
    2

    我怎么记得这是昆德拉某个地方说的

  3. mujun
    November 1st, 2010 02:23
    3

    两年前快要毕业的时候,我在被人收拾得空空荡荡的宿舍里整夜整夜哭到脱水,想着自己人生中最美好的四年恐怕就已经过去了。哭完了不还是得出国念这个博士咩,虽然似乎不可避免地越读越蠢了。。。>.<

  4. dqu
    November 1st, 2010 02:36
    4

    昆德拉说没说我不知道,不过NJ是肯定说了。这个模型的前提很多,其中之一是人是完全自我的,可度量的,比如说我们可能会要回到与某个刻骨铭心的爱人热恋那点,而模型中的人却算清了那个刻骨铭心的爱人其实并不那么出众,不如再退到原点重新选择机会更好,我们却没那么理性,不要那个可能的最好,而是偏要特定的那一个。

  5. 木遥
    November 1st, 2010 02:41
    5

    好吧我是不是应该看看这个片子……

  6. mujun
    November 1st, 2010 03:11
    6

    这篇文章应该存档。等过上两年你碰到一件更加倒霉的事情,然后会想回到现在。。。

  7. 路人甲
    November 1st, 2010 09:23
    7

    很多选择,人们是按他/她当时的知识认为的最优结果。吃后悔药或者想重新来过的想法大概是想带着现有的记忆回到过去,从而利用扩充的知识推翻当年的判断,做出新的选择(否则过去的判断在当时仍然是最优的)。这样这些来自上次生命的知识也有影响了本次生命体验的心情,本次的心情状态成了上一次心情状态的函数,未必和上次一样的随机分布吧。也许可以产生另一个版本的问题:)

  8. Flypig
    November 1st, 2010 11:14
    8

    啊,真荣幸,居然被著名的木遥同学提到了~ =)

  9. zhiqiang
    November 1st, 2010 12:37
    9

    就能看到为了使得最终的状态期望值最大,需要让设置还原点的时刻和回头的时刻相距最远才行。也就是说,应当在零岁时存档,而临死前决定是否读档。
    ———————————
    跟我直接的感觉不一样,我也去想想看。

  10. zoomr
    November 1st, 2010 12:49
    10

    即使读档也不能保证不会走入同样的路径

  11. zoomr
    November 1st, 2010 12:53
    11

    不是常有人说“再给我一次机会,我还会这样决定”。
    性格决定命运。

  12. Amio
    November 1st, 2010 17:10
    12

    可是,归零了之后的那一生和这一生已经没有关系,除了肉体的起始相同而已

    另外,也许你现在过的就是十年后重置到现在的日子呢?

  13. tenabaum
    November 1st, 2010 20:57
    13

    楼主好像假设每次回到还原点都保留了前面的记忆从而可以进行新的决策,这样你的人生当然可以过得很好,你会有几乎于两倍于别人的知识,经验等等。如果不是这样,你再怎么回到还原点,你的人生永远一样。

  14. 小骆驼商队
    November 2nd, 2010 00:16
    14

    楼主好像假设的是没保留记忆吧,那样当然没啥好的。如果保留记忆就不一样了。
    另外“最希望的当然是回到五年前重新开始我的留学生活。但是我也记得,在五年前,我想到的却是能回到本科时代重新念一遍大学”,这点跟我一样,但我可不想重过一遍中学、小学、幼儿园……

  15. 阿山
    November 4th, 2010 22:35
    15

    期待你写景,因为你写得特别好。这篇文章让我看的头疼,过于复杂对我来说。

  16. Every Minute Counts » 随机游走.1: 人生与醉汉
    November 11th, 2010 22:16
    16

    […] 不久前木遥的窗子登出了一篇名为两生的文章, 提出了这样一个问题: […]

  17. yuan_ye
    November 12th, 2010 14:19
    17

    设置还原点时的状态的期望都仍旧等于初始值,而决定回头读档时的状态期望值亦然。

  18. zmzy89
    November 14th, 2010 20:17
    18

    It’s quite hard to say。。。
    回到来原点,如果依据你性格做出的选择不变,走的路还是一样。。。

  19. film gonzo hard de plaisir intime enivrant
    June 25th, 2014 05:50
    19

    Quel hasard je pensais justement écrire un petit article pareil au tiens

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