Research Notes: 为什么没人喜欢学习高等数学

这学期我一直在教一门课,微积分 II。对象是非数学物理专业的大学生,大多数来自于 business / liberal art / economics 等专业。难度大致相当于国内的高数 B 或 C。所使用的教材是全美国都在广泛使用的 Stewart Calculus。

我目前所在的这所大学位于美国中部,这里毕业的学生一般都会进入白领阶层,但是很难有机会成为美国最出色的精英。也就是说,他们基本上是美国中产阶级的典型代表。

让我开宗明义地说:为什么说科学在美国衰败?从我的课堂就能看得出来。一个典型的未来美国中产阶级学生,在他的大学科学课程里基本上什么也学不到。等他成为社会的栋梁之后,如何可能了解科学和尊重科学?

这当然可能是一管窥豹,因为我毕竟没有旁听过别的科学门类的大学课程。但是连微积分这种所有理科学科都会赖以为基础的课程尚且如此,其余的情况似乎也可以想象。

为什么他们的微积分会学得这么糟糕呢?让我来举几个例子。

我接手这门课程之后的第一部分内容是积分技巧。大部分时间,学生们都在练习这样的题目:

计算下述不定积分:

\int\tan^7\theta\sec^5\theta d\theta

然后是微分方程。在介绍完基本定义之后,学生们在考试里会遇到的是这样的题目:

试求解下列微分方程:

x^2y'=y-y'

再然后是级数。虽然并不要求学生掌握 ε-δ 语言,但是他们要学习各种各样的判断级数是否收敛的定理。作业和考试都是这样的:

判断下列级数是否收敛:

\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos\left(e^n\right)}{n\sqrt{n}}

我完全不能理解,一个非数学或物理专业的学生怎么可能从这样的教育中获得一丝一毫的教益?他怎么可能不发自内心地痛恨这门课程,然后在考完试之后的一个小时之内把所有内容忘得精光?象三角代换这类积分技巧,不要说一个普通的心理学或者经济学专业的学生一辈子都用不到,就连我也一辈子都用不到。就算在极其罕见的情形下需要求解这类问题,也完全可以求助于 wolframalpha.com 或者类似的工具。在我看来,在二十一世纪还要求一个普通学生手算积分,就像是要求一个汽车驾校学员一定要从骑马学起一样。

实事求是地说,Stewart 这本教材并不坏,也尽力囊括了一些关于数学在别的领域中的应用的内容和大量颇有趣味的阅读材料。但是问题在于,它仍然是一本基于数学家思维方式写出来的教材,亦即在每一个课题上从最基本的定义和定理开始堆砌,直到超出教材所可能涵盖的水平为止。例如,为什么学生需要学习变量分离的常微分方程的解法?因为这是最容易解的(也是这个水平的学生所唯一可能学会解法的)常微分方程。也就是说,学生学习这类方程(并且要做大量练习)不是因为它对学生来说重要,而是因为它是在数学大厦里一个学生所能爬到的最高位置,如此而已。

可是一个学生为什么要去爬这座大厦呢?或者换句话说,数学家凭什么要求所有普通人都按照数学家的方式来学数学呢?它除了把学生摔得鼻青脸肿之外,没有任何用处。每个学生都不得不学会七八种判别一个级数是否收敛的技巧,但是他甚至没有机会得到一个简单问题的答案:「我为什么要学习级数?」——对数学家来说这个问题没有意义,数学家反正总是需要级数的。

但是它对别人有意义。每次当我走进课堂,开始讨论第一类反常积分和第二类反常积分或者绝对收敛和相对收敛的区别,我都忍不住设想台下学生们的心情。他们会不会觉得我像是个傻瓜?反正我觉得自己很像。

我常常碰到有人认真地问:「数学到底有什么用处?」这问题其实一点都不难回答,我可以随口举出无数个例子来说明为什么社会的每个角落都须臾不可缺少最现代的数学工具,但是我明白为什么别人会问这个问题。因为对于他们来说,数学就是他们在大学里学过的这些习题。而这些习题对 99% 的大学生来说确实一点用都没有,甚至连「锻炼逻辑思维能力」这种最虚幻的用处也谈不上。

如果是我来编写大学数学教材,我会争取让每一个在大学里读过数学课的人都能回答这样的问题:为什么人们能精确预测几十年后的日食,却没法精确预测明天的天气;为什么人们可以通过 https 安全地浏览网页而不会被监听;为什么全球变暖的速度超过一个界限就变得不可逆了;为什么把文本文件压缩成 zip 体积会减少很多,而 mp3 文件压缩成 zip 大小却几乎不变;民生统计指标到底应该采用平均数还是中位数;当人们说两种乐器声音的音高相同而音色不同的时候到底是什么意思⋯⋯这不是什么「趣味数学」,这就是数学。基础、重要、深刻、美的数学。

在我的设想里,这才是大学基础数学教育所应该达成的任务。不是培养一个非数学专业的现代人在数学领域的专业素质(这是无论如何也不可能成功的),而是让一个人能够在非专业的前提下最大程度地掌握真正有用的现代数学知识,了解数学家们的工作怎样在各个层面上和社会产生互动,以及社会在这个领域的投资得到了怎样的回报。别的科学门类的基础教育也应当是这样。

更重要的是,任何一个接受过大学科学教育的人,无论他的职业是什么,他都应当能够明确理解下面这些事:为什么历史上一次又一次有过处于少数地位的业余科学家在不被重视的情况下做出重大贡献的事例,今天的科学界仍然在整体上排斥业余研究者的参与,并且反对社会资源被用来鼓励业余研究;既然科学结论有可能并且也在事实上曾经反复被推翻,连牛顿力学都会被爱因斯坦相对论所取代而相对论也可以继续被修正,当代科学家做出的科学断言到底在什么意义上值得相信(或者是不是根本就不值得相信);科学问题是不是和政治问题一样,并不存在所谓正确的答案,而每种立场其实都有其存在的意义和价值;当一个科学上的专业问题同时又具有政治上的巨大影响力的时候(比如全球变暖、干细胞研究或者转基因作物推广),不具有专业背景的公众到底应该具有怎样的发言权。让每个现代人在大学教育中听到科学家对这些问题的回答,应当是大学科学教育不可回避的任务。

毫无疑问,现状并不是这样。

我并没有在中国大学里教数学基础课的经历,但是就我的了解而言,情况和美国差不多。我不止一次听到别人向我描述高数课给他们带来的痛苦,我能想象也能理解这种痛苦。这不是中国或者美国的问题,而是普遍存在于时代的问题。

在科学的威力史无前例地席卷全社会的今天,科学和社会的关系也史无前例地疏远。这实在是太危险了。

63 Responses to “Research Notes: 为什么没人喜欢学习高等数学”

  1. weidz
    December 8th, 2011 15:36
    1

    当年我读economic时,高数就是算博主文中的题目,当真无比痛苦,现在我也不会判断哪个函数是否收敛,ε-δ 语言当然严密,但我从来没有学会用它证明定理,后来我发现把dx当成一个实体,好些微分就很容易理解,再后来我发现居然有很多种微积分,当时老师和课本居然没有提过!–我想,假如当年老师能告诉我黎曼积分只是很多积分方法之一,而不是唯一、本质的,我会对微积分有更深入的理解。求积分,还是有矩阵求积,求逆,当年都是无比痛苦,浪费时间的事,而老师当时居然没告诉我们有matlab,maple可以代劳,当真阴险无比,毕业多年,积分,矩阵求积、求逆,有几个会笔算的?悲剧的是很多同学连用软件算都不会,因为老师就没教过这一最具实用意义的方法!我个人认为高数对大多数人可能具有的意义就是可以理解一些用微积分证明的有趣想法。

  2. deadfool
    December 11th, 2011 10:14
    2

    我大学数学除了高数一没有挂掉,在其它科目上都壮烈牺牲了,高数二考试的时候,在卷子上写了点儿感想“因为没心思看书,答不出题,很抱歉”。那时候我就怀疑自己的数学能力(其实一直都怀疑)。但是十年后的今天,我又重新开始学数学。用spivak的书学微积分,用strang的书学线性代数,感觉很奇特。哪些曾经让我束手无策的玩意是绝对可以理解的,而且他们都很美妙,有时候想,也许整个世界都是数学的,我们只是还不够智慧去揭示全部的原理。
    假如当年能找到好书,有一些东西刺激求知欲,我会学到更多的。。。

  3. presjch
    December 17th, 2011 11:38
    3

    作为一个正在饱受高数折磨的学生,我真的不知道如何对他提起激情。但是我对为什么人们可以通过 https 安全地浏览网页而不会被监听这样的问题却是十分感兴趣。对于我来说,高数对我来说作用就是让我争取到更高的gpa,而我的同学就是为了拿到毕业证书而努力。

  4. flz
    December 21st, 2011 16:45
    4

    觉得 @Luoluo 说的动机很重要。在学习矩阵分析的时候,听老师讲了一大堆的概念像什么基啊,线性无关啊,秩啊,矩阵的xx分解。。。等等。却从来没有跟我们讲过一个实际的应用。后来在一篇介绍google搜索算法的文章里面看到了一些矩阵分析里面的概念时才突然一亮:哦,这东西就是矩阵分析里面的某某概念啊。但是这个时候不明白的地方却没有机会回去找老师再去厘清了。要是老师的知识在广泛些,在整个学期的讲课过程中把某一个实际问题结合到里面去,对用心的学生来说应该更会有帮助吧。

  5. lee
    December 22nd, 2011 13:52
    5

    You can study mathmatics and love it, you must be smart enough to do it.

  6. Wayne
    January 28th, 2012 01:06
    6

    “在科学的威力史无前例地席卷全社会的今天,科学和社会的关系也史无前例地疏远” 很赞同。
    还有在物质上的贫富差距越来越大的同时,知识上的贫富差距也变的越来越大,并让人感到害怕。。。

  7. gordon
    March 2nd, 2012 12:28
    7

    学习数学的作用

    我同意上面Yingjin SHAN 的说法,这也是所有人的经验。

    “数学中的直观和灵感,并不是看看科普就能理解的,需要大量的训练,而且是有一定难度的训练。

    如果抱着“拿来一用”的态度学数学,那么数学也不会给你很多回报。”

    如果真想学通、学精,并且能为你以后的发展提供支撑,你就要花大力气学好它,如果暂时用不上,混个及格分就算了,不要浪费你的时间,说白了就是为了拿个毕业证,或者说就是为了证明你有文化。

    通识教育都是这样,一瓶不满半瓶晃荡,最后培养了一批普世精英,呵呵。

    还是老话,你要想学懂一门学问,并且能够成为你以后工作的支撑,都是需要大量的练习和大量的时间的。

  8. gordon
    March 2nd, 2012 12:34
    8

    甚至直接可以这么说,大部分的本科教育屁都教不了你,顶死就是给你起个入门,起个科普的作用,大学毕业——托儿所式教育就结束了。

    这时你会参与到工作当中去,找到你的兴趣点和爱好,然后根据科普的线索,再深入进行研究。

    科普只是给你起一个线头的作用,能不能找到金苹果,还要看以后的发展,而大学毕业后的几年,例如30岁,正好是你人生的巅峰,可以非常专一的钻拱某一狭窄区域的知识。

    其实真正的学习还是靠自己,科普只是给你一个线索的作用,也就是通识教育中的素质。

    这是因为学校也不知道你的人生方向,只能像一个算命先生一样,给你若干可能,若干二义性,剩下的路你自己走。

  9. gordon
    March 2nd, 2012 12:41
    9

    本科教育别紧张,放轻松,混一混就完了。

    如果让我对年轻的自己说点什么的话,我会说,放轻松,有一个业余爱好,谈一场恋爱,找到一个妞。

    只是中国以前的教育资源缺乏,高考形成了过度的竞争,条件反射很多人在大学的时候依然存在,把太多的人逼得太苦,而现在学生的压力又集中在就业,所以在大学的时候还是过分焦虑,那我把忠告改一下。

    寒暑假参与一份打工工作,给自己一个爱好,找一个妞。

  10. Tao
    July 19th, 2012 08:38
    10

    我一直认为大多数人不喜欢数学的原因是因为他们在课堂上没有学到数学在讲什么, 或者说老师没有告诉他们那些公式和定理背后的现实背景是什么, 一般数学课都直接进入大量复杂的公式, 正常人都不会喜欢.

  11. Hangfei Lin
    January 19th, 2013 10:51
    11

    觉得作者并没有提出真正解决的方法和具体执行的步骤。只是说了一个很笼统的方向和很简单的框架。而且,我觉得这种抒情式的框架并不一定能起到作用。数学,要先满足工具这一个功能,而不是要去欣赏。很多文科学生还是会用到数学的很多工具和思想的。他们有的人可能做的工作不用数学,但必然不少人要用;可能有人一辈子都用不到,但是有人不久的将来可能就会用到。

  12. Jaclyn
    January 24th, 2015 19:01
    12

    Admin do you want unlimited content for your blog?
    Type in google:
    stottai’s rewriter

  13. Junfeng Liu
    May 12th, 2016 09:51
    13

    推荐一个网站:http://betterexplained.com/,这才是学习数字的正确方法